التوافقية :
أمثلة:
يأخذ عالم الكمبيوتر في الاعتبار أنماط الأرقام والمفاتيح لتشفير العبارات المعقدة.
يقوم مشرف المتجر بإعداد تكليف العمال بالأدوات أو إلى منطقة العمل.
ثلاث مشاكل أساسية في التوافقية:
مشكلة الوجود-> تتعامل مع السؤال: هل هناك ترتيب واحد على الأقل من نوع معين؟
مشكلة العد-> تتعامل مع السؤال: كم عدد الترتيبات الموجودة؟
مشكلة التحسين-> تتعامل مع السؤال: أيهما هو الأفضل من بين جميع الترتيبات وفقًا لبعض المعايير؟
التحليل التوافقي:
إنه يتعامل مع التباديل والتركيبات والأقسام التي تحدد عدد الاحتمالات المنطقية.
التوليف هو في جوهره دراسة الترتيبات والاقتران والتجميع والترتيب والترتيب والاختيار والتخصيص.
ثلاثة فروع من التوافقية:
1. التوليفات العدديّة: هو علم العدّ الذي يتعامل مع تحديد عدد الترتيبات الممكنة لمجموعة من الكائنات تحت بعض القيود الخاصة.
2. التوافقات الوجودية: وهي دراسات تتعلق بوجود ترتيب له بعض الخصائص الخاصة.
3. التوليفات البناءة: هي تصميم ودراسة الخوارزمية لإنشاء ترتيبات ذات خصائص خاصة.
نظرية المجموعات
المجموعة هي مجموعة من الأشياء المميزة ، والتي تعتبر كشيء في حد ذاته.
لوصف المجموعة ، هناك نوعان من الترميز
ترميز روستر Roaster Notation
إنها طريقة لوصف المجموعات مباشرة ، أي أن تدوين الجدول هو سرد جميع عناصر المجموعة واحدة تلو الأخرى.
مثال: أ = {1،2،3،4،5} ، ب = {أ ، ب ، ج ، د}
ترميز بناء المجموعة ( سيت بيلدر - Set builder notation )
طريقة بديلة لتعريف مجموعة ، تسمى تدوين setbuilder ، هي من خلال ذكر خاصية (مسند) P (x) تم التحقق منها بالضبط بواسطة عناصرها ، على سبيل المثال
A = {x ∈ Z | 1 ≤ x ≤ 5}
حيث ان الاعداد تنتمي الى الاعداد الصحيحة
ثم ان الشرط في المجموعة السابقة ان الواحد اصغر من او يساوي الاكس ثم ان الاكس اصغر من او تساوي الخمسة
بناء على الشروط السابقة في بناء المجموعة ستنتج لدينا المجموعة التاليه وهي :
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
فيما يلي الرموز القياسية المستخدمة للمجموعات التي تلعب أدوارًا مهمة
N= {0,1,2,3….}, مجموعة من جميع الأعداد الطبيعية
Z= {…-2,-1,0,1,2….}، مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة
Z+ = {1,2,3….}، مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة
Q = {p/q | p∈z , q∈z, q≠0} ،مجموعة من جميع الأعداد المنطقية او النسبية او الكسريه
R =مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية
المجموعة الفارغة:
المجموعة التي لا تحتوي على عناصر تسمى المجموعة الفارغة. يتم الإشارة إليه بواسطة الرمز𝛝 أو A={}
المجموعة المفردة:
المجموعة التي تحتوي على عنصر واحد فقط تسمى المجموعة المفردة. علي سبيل المثال A={1}
المجموعة اللانهائية:
المجموعة التي تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر تسمى المجموعة اللانهائية. علي سبيل المثال
Z={1,2, 3, 4…….}
العلاقة الأساسية: إذا كانت A مجموعة منتهية ، فإن عدد العناصر في مجموعة يُطلق عليه اسم العنصر الأساسي أو حجم المجموعة التي يُشار إليها بواسطة | |
على سبيل المثال a={1,2, 3, 4} حجم المجموعة A يساوي
|A|=4
العضوية :
عندما تكون مجموعة واحدة عنصرًا آخر. بمعنى اذا كانت A عضوا من B فيرمز لهذه الحاله بالرمز
A ∍ B
ويمكننا القول بدلا من العضوية كلمة" انتماء" بمعنى ينتمي الرقم الى المجموعة او لا ينتمي الى المجموعة وهكذا
واذا كانت c ليست عضوا او لا تنتمي لـ B فإننا نرمز لذك بالرمز التالي
C∌B
فيما يتعلق بالمجموعات
A= {1,2,3,4}
B={blue, white, red} مجموعة ب تحتوي على الالوان : ازرق ابيض احمر
بالتالي نقول ان رقم 4 ينتمي الى المجموعة A
والرقم 285 ينتمي الى المجموعة F لماذا ؟ لان الحد في المجموعة السابقة 19 لو اخذنا العدد 19 مضروبا في نفسه -تربيع- سيكون الناتج 361 لذلك سنستبعد 19 اما لو اخذنا الرقم 18 مضروبا في نفسه سيكون الناتج 324 سنستبعده اما لو جربنا مع العدد 17 مضروبا في نفسه سيكون الناتج 289 ولو طبقنا عليه الشرط الموجود سيكون 289 مطروحا منه 4 يساوي 285 لذلك الرقم ينتمي الى المجموعة F
وبالتالي يمكننا القول بان 9 لا ينتمي لF واللون الاخضر لا ينتمي لB
مجموعات فرعية
إذا كان كل عضو في المجموعة A هو أيضًا عضوًا في المجموعة B ، فيُقال إن A مجموعة فرعية من B ، ويمكن تمثيلها كالاتي
B⊆A أو A⊆B إذا كانت A مجموعة فرعية من B ، ولكنها لا تساويها ، فإن A تسمى مجموعة فرعية مناسبة من B ، ويرمز لها بالرمز ⊊
امثلة :
مجموعة كل الرجال هي مجموعة فرعية مناسبة من مجموعة كل الناس.
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}.
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية من كل مجموعة وكل مجموعة هي مجموعة فرعية منها:
∅ ⊆ A.
A ⊆ A.
هوية واضحة ولكنها مفيدة ، والتي يمكن استخدامها غالبًا لإظهار أن مجموعتين مختلفتين على ما يبدو متساويتان:
A = B if and only if A ⊆ B and B ⊆ A.
لإظهار أن شيئًا ما ليس مجموعة فرعية ، يمكنك رسم خط مائل عبر رمز المجموعة الفرعية ، لذلك ما يلي:
يتم نطقه كـ "Bليست مجموعة فرعية منA
الباور ست "Power sets"
لتبسيط هذه النظرية ساتي بهذه المجموعة كمثال {1, 2, 3} لمعرفة الباور سنت نعوض في هذا القانون 2^n اي بمعنى المجموعة في المثال السابق تحتوي على 3 عناصر وسيكون التعويض 2 اس ثلاثة ( 2*2*2 ) بمعنى ان المجموعة السابقة يجب ان تولد ثمانية مجموعات اخرى بالشكل التالي :
{{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}
ودائما المجموعة الخالية تكون عنصرا لاي مجموعة اي كانت وتمثل العنصر الاخيرة دائما لاي مجموعة باور ست .- تم تضليلها في المثال السابق للإيضاح
ويمكن دائما التأكد من الحل بكتابة القانون
2^3 = 8
حيث ان الرقم 3 متغير بحسب عدد عناصر اي مجموعة معطاه
عمليات المجموعات
تقاطع المجموعتين A و B ، والمشار إليهما A ∩ B ، هي مجموعة جميع الكائنات التي هي أعضاء في وتتثاطع مع كل من A و B. على سبيل المثال تقاطع {1 ، 2 ، 3} و {2 ، 3 ، 4} ينتج عنه المجموعة { 2 ، 3}. اي فقط نكتب العناصر المكررة فقط في المجموعتين
المجموعات الفارقة - Set difference : وهي العناصر المغايره في المجموعتين مثال : {2,3,4} \ {1,2,3} is {4} العنصر المغاير هنا الرقم 4
عندما تكون A مجموعة فرعية من U ، فإن فرق المجموعة U / A تسمى أيضًا تكملة A في U.
امثلة لعميات المجموعات :
الاختلاف المتماثل بين المجموعتين
A و B هو مجموعة جميع الكائنات التي هي عضو في واحدة بالضبط من A و B (العناصر الموجودة في إحدى المجموعتين ، ولكن ليس في كليهما). على سبيل المثال ، بالنسبة للمجموعات {1،2،3} و {2،3،4} ، فإن مجموعة الاختلاف المتماثل هي {1،4}. إنه الفرق المحدد بين الاتحاد والتقاطع ، (أ ∪ ب) \ (أ ∩ ب).
المنتج الديكارتي (حاصل ضرب المجموعات)
لـ X و Y ، المشار إليهما X × Y ، هو المجموعة التي يكون أعضاؤها جميعًا أزواجًا مرتبة (x ، y) حيث x عضو في X و y عضو في Y.
امثلة :
A = {1,2}; B = {3,4}
A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
A = B = {1,2}
A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
حاصل ضرب حجم المجموعة يكون كالاتي :
|AxB|= nxm. ie, if |A|=7 and |B|=9 then |AxB|= 63.
حجم المجموعة A = 7 وحجم المجموعة B = 9 اذا 7*9 يكون الناتج 63 مجموعة
العلاقات في المجموعة
في هذا القسم ، نقصر أنفسنا على الحديث عن العلاقات في المجموعة أ وتحديد بعض الخصائص التي قد تكون لها علاقة.
يُقال أن العلاقة على A تكون انعكاسية إذا كانت a مرتبطة بـ a لكل a∈A. إذا تركنا R تشير إلى العلاقة ، فسنحصل على aRa لكل a∈ A. مثال على العلاقة غير الانعكاسية مثل علاقة "الوالد والاب" على مجموعة من الأسرة. بما أنه لا يوجد شخص او لايمكن لشخص ان يكون والد نفسه ، فإن العلاقة ليست انعكاسية. على سبيل المثال ، إذا كانت A = {1،2،3} فإن العلاقة R على A ، R = {(1،1) ، (1،2) ، (2،2) ، (3،3)} هي علاقة انعكاسية (1،1) ، (2،2) ، (3،3) ∈ R.
لتبسيط المسألة تخيل انك تنظر للمرآه ستكون المرآه انعكاسا لك بمعنى ان انعكاس الرقم 1 سيكون 1 بالتاكيد كما اشرنا له في هذا المثال (1،1) ، (2،2) ، (3،3)
تكون العلاقة R على A متماثلة إذا أعطيت aRb ثم bRa. العلاقة "الاخت" ليست متماثلة على مجموعة تحتوي على أخ وأخت ولكنها ستكون متماثلة على مجموعة من الإناث. العلاقة الفارغة على مجموعة هي مثال على العلاقة المتماثلة لأن العبارة "if aRb" خاطئة دائمًا. على سبيل المثال ، إذا كانت A = {1،2،3} فإن العلاقة R على A ، R = {(1،1) ، (1،2) ، (2،1) ، (2،2) ، (3 ، 3)} هي علاقة متماثلة نظرًا لوجود 1R2 و 2R1. لكن العلاقة S على A ، R = {(1،1) ، (1،2) ، (2،1) ، (2،2) ، (2،3) ، (3،3)} ليست متماثلة العلاقة لان2R3 لاتتساوي 3R2.
مثال مبسط جدا : علي اخو محمد بالتالي سيكون محمد اخو علي وهكذا
اما لو قلنا محمد والد فيصل لا يمكننا ان نقول فيصل والد محمد فالعلاقة هنا ليست متماثلة .
تكون العلاقة R على A متعدية إذا أعطيت aRb و bRc ثم aRc. العلاقة "هي سلف لـ" مجموعة من الناس متعدية كما هي العلاقة الفارغة على مجموعة. على سبيل المثال ، إذا كانت A = {1،2،3} فإن العلاقة R على A ، R = {(1،1) ، (1،2) ، (1،3) ، (2،2) ، (2 ، 3) ، (3،3)} هي علاقة متعدية نظرًا لوجود 1R3 في 1R2 و 2R3. لكن العلاقة S على A ، R = {(1،1) ، (1،2) ، (2،1) ، (2،2) ، (2،3) ، (3،3)} ليست متعدية العلاقة بسبب 1R2 و 2R3 هناك 1R3 غير موجوده.
يُقال أن العلاقة الثنائية المعطاة R على مجموعة A هي علاقة تكافؤ إذا وفقط إذا كانت انعكاسية ومتناظرة ومتعدية. على سبيل المثال إذا كانت A = {1،2،3،4} فإن العلاقة R على A ، R = {(1،1) ، (1،2) ، (1،3) ، (2،2) ، (2 ، 3) ، (3،1) ، (3،2) ، (3،3) ، (4،4)} هي علاقة تكافؤ تلبي الخصائص الانعكاسية والمتماثلة والمتعدية.
تعليقات
إرسال تعليق
شاركنا الآراء ،،